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yukicoder No.2082 AND OR XOR 解題心得

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題目名稱：AND OR XOR

題目敘述

對於非負整數的 $a,b$ ，定義一個二元運算子 $*$ 。

  • $x * y = (A×(x$ $AND$ $y)+B×(x$ $OR$ $y)+C×(x$ $XOR$ $y))$ $mod$ $4$
    長度為 $N$ 的數列 $X$ 如果滿足以下條件則被稱作 好的數列 。
  • 每一項都由 $0,1,2,3$ 組成。
  • $(…((X_1 * X_2) * X_3) * …) * X_N = (…((X_N * X_{N-1}) * X_{N-2}) * …) * X_1$ 成立。
    求 好的數列 的個數，由於答案可能會很大，所以請取除以 $998244353 $的餘數後出。

想法

這個問題可以用dp來處理，雖然 $N=5000$ ，但是這題的複雜度不是 $O(N^2)$ 而是 $O(N×4^5)$ 。
首先可以定義三個數列$P,X,R$，$X$代表任意的 好的數列 ，然後滿足：
$1.$ $P_{i-1} * X_i = P_i$
$2.$ $R_i * X_i = R_{i-1}$
假設 $(…(( X_1 * X_2 ) * X_3 ) * … ) * X_N = Y$ ，接著窮舉 $Y$ 。
而若 $R_1 = P_N = Y$ ，則 $(…((X_1 * X_2) * X_3) * …) * X_N = (…((X_N * X_{N-1}) * X_{N-2}) * …) * X_1$ 成立。
於是可以定義狀態 $dp[i][j][k]$ 代表在位置 $i$ 時， $P_i=j$ 且 $R_i=k$ 有解。
因為 $P_1 * X_2 = P_2$ 且 $R_2 * X_2 = R_1$ ，且 $R_1 = Y$ ，然後可以列出初始狀態：
$ ∀ j*k=Y ， dp[1][j][k] = 1。$
接著可以列出轉移 $dp[i][P_i][R_i] = \sum dp[i-1][P_{i-1}][R_{i-1}] ( P_{i-1} * X_{i}=P_{i} \quad and \quad R_{i} * X_{i}=R_{i-1} )$
因為 $P_{N-1} * X_N = P_N$ 且 $R_{N} * X_N = R_{N-1}$ ，且 $P_N = Y$ 。
所以最後需要檢查所有的 $P_{N-1} * R_{N-1} = Y$ ，把滿足條件的 $dp[N-1][P_{N-1}][R_{N-1}]$ 加起來就會是答案了。

程式碼

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef string str;
typedef pair<ll,ll> pii;
#define F first
#define S second
#define pb push_back
#define pq priority_queue
#define all(x) (x).begin(),(x).end()
#define bug(x) cerr << (x) << '\n'
#define yn(x) cout << (x==1?"Yes\n":"No\n")
#define PI 3.14159265358979323
#define Ststone ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0)
const ll max_n=2e5+20,max_int=2147483647,mod1=1e9+7,mod2=998244353;
ll dx[8] = {1,0,0,-1,1,1,-1,-1};
ll dy[8] = {0,1,-1,0,1,-1,1,-1};
ll t,n,q,m,a,b,c,d,e,dp[5010][10][10],ans=0;
vector<ll> v,v1,v2,v3,v4;
char cc;
str s;

ll f(ll x,ll y){
    return ((a*(x&y))+(b*(x|y))+(c*(x^y)))%4;
}

void solve(){
    cin >> n;
    cin >> a >> b >> c;
    for(ll goal=0;goal<4;goal++){
        for(ll i=0;i<5010;i++){
            for(ll j=0;j<4;j++){
                for(ll k=0;k<4;k++){
                    dp[i][j][k] = 0;
                }
            }
        }
        for(ll i=0;i<4;i++){
            for(ll j=0;j<4;j++){
                if(f(i,j)==goal)
                    dp[1][i][j] = 1;
            }
        }
        for(ll i=2;i<n;i++){
            for(ll s1=0;s1<4;s1++){
                for(ll s2=0;s2<4;s2++){
                    for(ll r1=0;r1<4;r1++){
                        for(ll r2=0;r2<4;r2++){
                            for(ll ak=0;ak<4;ak++){
                                if(f(s1,ak)==s2&&f(r2,ak)==r1){
                                    dp[i][s2][r2] += dp[i-1][s1][r1];
                                    dp[i][s2][r2] %= mod2;
                                }
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        for(ll i=0;i<4;i++){
            for(ll j=0;j<4;j++){
                if(f(i,j)==goal)
                    ans +=  dp[n-1][i][j];
                    ans %= mod2;
            }
        }
    }
    cout << ans << '\n';
}

int main(){
    Ststone;
    solve();
}